Électricité - Fondamentaux approfondis

🔋 1. Potentiel électrique & différence de potentiel (ddp)

Le potentiel électrique \(V\) (en volts) est une grandeur scalaire associée à un point de l'espace. La différence de potentiel entre deux points A et B est la tension \(U_{AB} = V_A - V_B\).

\[ U_{AB} = \frac{W_{A\to B}}{q} \quad ; \quad \text{Unité : Volt} \]

💧 Analogie hydraulique : Le potentiel est analogue à la hauteur d'eau (pression). Le courant correspond au débit, et la résistance à un rétrécissement du tuyau.

La masse (0 V) est souvent prise comme référence dans les circuits.

🌡️ 2. Résistivité et dépendance thermique

La résistance d'un conducteur dépend de la température : pour les métaux, \(R(T) = R_0 [1 + \alpha (T - T_0)]\) avec \(\alpha\) coefficient de température.

\[ \rho(T) = \rho_0 \bigl(1 + \alpha (T - T_0)\bigr) \quad \text{et} \quad R = \rho \frac{L}{S} \]

Conductivité : \(\sigma = 1/\rho\) (S/m). Les supraconducteurs ont \(\rho \to 0\) en dessous d'une température critique.

🔩 Cuivre : \(\rho \approx 1,68\times10^{-8}\,\Omega\cdot m\)

⚙️ Aluminium : \(\rho \approx 2,82\times10^{-8}\,\Omega\cdot m\)

⚠️ Carbone : \(\rho \approx 3,5\times10^{-5}\,\Omega\cdot m\)

🔌 3. Générateurs et récepteurs – Modèle réel

Un générateur réel (pile, batterie) est modélisé par une force électromotrice \(E\) (fem) et une résistance interne \(r\).

\[ U_{\text{borne}} = E - r I \quad (\text{en convention générateur}) \]

Pour un récepteur (moteur, électrolyseur) : \(U = E' + r' I\) (force contre-électromotrice).

🧪 Exemple : Une pile de 9 V avec \(r = 1\,\Omega\) délivre \(U = 9 - 1\times I\). Quand le courant augmente, la tension chute.

⚙️ 4. Théorèmes d'électricité (superposition, Thévenin, Norton)

Théorème de superposition : Dans un circuit linéaire, la contribution de chaque source indépendante s’additionne (on éteint les autres sources).

Thévenin : tout réseau linéaire vu entre deux bornes peut être remplacé par une source de tension \(E_{th}\) en série avec une résistance \(R_{th}\).

\[ R_{th} = \text{résistance équivalente vue des bornes (sources éteintes)} \]

Norton : équivalent par une source de courant \(I_N\) en parallèle avec \(R_N = R_{th}\).

▸ Exemple de transformation : [ générateur 12V, R1=4Ω ] → Equivalent Norton : I_N = 3A, R_N = 4Ω

📏 5. Ponts diviseurs (tension / courant)

Diviseur de tension (résistances en série) :

\[ U_{R2} = U_{tot} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} \]

Diviseur de courant (résistances en parallèle) :

\[ I_{R2} = I_{tot} \times \frac{R_1}{R_1 + R_2} \]

Utile pour les capteurs, les réglages de tension, et l'analyse rapide des circuits.

📈 6. Puissance, énergie et rendement électrique

Puissance électrique fournie par un générateur : \(P_{fournie} = E \cdot I\)

Puissance utile (aux bornes) : \(P_{utile} = U \cdot I\)

Rendement \(\eta = \dfrac{P_{utile}}{P_{fournie}} = \dfrac{U}{E} = \dfrac{R_{charge}}{R_{charge} + r}\)

\[ \eta = \frac{R}{R+r} \quad \text{(pour un générateur réel)} \]

💡 Le rendement maximal est 1 (100%) lorsque \(r \to 0\). En pratique, on cherche un compromis puissance/rendement.

🔄 7. Fondamentaux du courant alternatif (AC)

Un signal sinusoïdal s'écrit : \(u(t) = U_{max} \sin(\omega t + \varphi)\).

\(\omega = 2\pi f\) (pulsation en rad/s)
Valeur efficace : \(U_{eff} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}\) , \(I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}\)
En alternatif résistif : \(P = U_{eff} \cdot I_{eff}\) (loi d'Ohm toujours valable \(u(t)=R\,i(t)\)).

Déphasage : pour une bobine ou condensateur, courant et tension ne sont pas en phase.

\[ \text{Impédance } Z = \frac{U_{eff}}{I_{eff}} \quad (\text{équivalent de R en AC}) \]

📌 Résistor : \(Z_R = R\), \(\varphi = 0\)

📌 Condensateur : \(Z_C = \frac{1}{C\omega}\), i en avance sur u

📌 Bobine : \(Z_L = L\omega\), i en retard sur u

⚙️ 8. Puissance en régime sinusoïdal

Puissance active (W) : \(P = U_{eff} I_{eff} \cos\varphi\) (\(\cos\varphi\) = facteur de puissance)

Puissance réactive (VAR) : \(Q = U_{eff} I_{eff} \sin\varphi\)

Puissance apparente (VA) : \(S = U_{eff} I_{eff} = \sqrt{P^2+Q^2}\)

🔧 Un facteur de puissance proche de 1 est souhaitable (moins de courant réactif dans les lignes).

🛡️ 9. Sécurité électrique – notions essentielles

Les effets du courant sur le corps humain dépendent de l'intensité, du trajet et de la durée.

Seuil de perception : ~ 0,5 mA (AC 50 Hz)
Seuil de non-lâcher : ~ 10 mA
Fibrillation ventriculaire : > 30 mA (danger mortel)

Protections : mise à la terre (PE), disjoncteur différentiel (30 mA), fusibles, isolation double.

Loi d'Ohm appliquée au corps : \(I_{corps} = \frac{U_{contact}}{R_{corps}}\) (résistance peau ~ 1kΩ à 100kΩ selon conditions)

📝 10. Exercices – Appliquer les fondamentaux

🔧 Exercice 1 : Thévenin simple
Soit un circuit composé d'une source 15V en série avec R1=5Ω, et une autre branche avec R2=10Ω en parallèle sur la sortie. Calculer le modèle équivalent de Thévenin vu aux bornes de R2.

Solution :
\(E_{th}\) = tension à vide = \(15 \times \frac{10}{5+10} = 10\,V\).
\(R_{th}\) = résistance vue (source éteinte) = \(5\,\Omega // 10\,\Omega = \frac{5\times10}{15} = 3,33\,\Omega\).
Modèle : générateur 10 V en série avec 3,33 Ω.

⚡ Exercice 2 : Rendement d'une batterie
Une batterie de fem 12 V a une résistance interne 0,2 Ω. Elle alimente une résistance de charge \(R_c = 2,8\,\Omega\). Calculer le courant, la tension en charge et le rendement.

Correction :
\(I = \frac{E}{R_c + r} = \frac{12}{2,8+0,2} = \frac{12}{3} = 4\,A\)
\(U = E - r I = 12 - 0,2\times4 = 12 - 0,8 = 11,2\,V\)
Rendement \(\eta = \frac{U}{E} = \frac{11,2}{12} \approx 0,933\) soit 93,3%.

📉 Exercice 3 : Diviseur de courant
Un courant total de 5 A se divise entre R1=6 Ω et R2=4 Ω en parallèle. Calculer le courant dans chaque résistance.

Correction :
\(I_1 = I_{tot} \times \frac{R_2}{R_1+R_2} = 5 \times \frac{4}{10} = 2\,A\) ; \(I_2 = I_{tot} - I_1 = 3\,A\) (vérif : \(I_2 = 5 \times \frac{6}{10} = 3A\)).

🌊 Exercice 4 : Valeur efficace et puissance AC
Une tension sinusoïdale a pour expression \(u(t)= 311\sin(314 t)\). Quelle est sa valeur efficace et sa fréquence ? Quel courant efficace traverse une résistance de 100Ω ?

Solution :
\(U_{max}=311 V\) → \(U_{eff}=311/\sqrt{2} \approx 220\,V\) (réseau domestique).
\(\omega = 314 rad/s\) → \(f = 314/(2\pi) \approx 50\,Hz\).
\(I_{eff} = U_{eff}/R = 220/100 = 2,2\,A\). Puissance active = \(220\times2,2 = 484\,W\).

📊 Tableau synthétique des grandeurs électriques

Grandeur	Symbole	Unité	Mesure / Lien
Force électromotrice	E, fem	Volt (V)	\(E = U_{vide}\)
Résistance interne	r	Ohm (Ω)	\(U = E - rI\)
Conductance	G	Siemens (S)	\(G = 1/R\)
Réactance capacitive	X_C	Ω	\(X_C = 1/(C\omega)\)
Réactance inductive	X_L	Ω	\(X_L = L\omega\)
Impédance	Z	Ω	\(Z = \sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)

🧠 Schéma mental : générateur réel et puissance max

[E] ---(r)---(+) U --- charge R | | ------------- Puissance maximale transférée à la charge lorsque \(R = r\) (adaptation d'impédance).

\(P_{max} = \frac{E^2}{4r}\) (théorème d'adaptation). En électronique, on l'utilise pour les signaux, mais en puissance on préfère souvent un rendement élevé.

\[ P_{max} \iff R_{charge} = r_{interne} \]

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